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19.如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.若BC=2$\sqrt{3}$,求AB的长.

分析 首先证明OE=OF,再连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.

解答 解:
在矩形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BAC=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠FCO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF,
连接OB,
∵BE=BF,OE=OF,
∴BO⊥EF,
∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,
∴∠BAC=∠ABO,
又∵∠BEF=2∠BAC,
即2∠BAC+∠BAC=90°,
解得∠BAC=30°,
∵BC=2$\sqrt{3}$,
∴AC=2BC=4$\sqrt{3}$,
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=6.

点评 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,综合题,但难度不大,作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.

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7.观察下列各式及展开式:
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请你猜想(a+b)12的展开式第三项的系数是66.

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14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1关于点D成中心对称.
(1)画出对称中心D,并写出点D的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2
(3)画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3
(4)请直接写出△A3B3C3的面积10.

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4.把下列各数分别填入相应的集合里:$\root{3}{8}$,$\sqrt{3}$,-3.14159,$\frac{π}{3}$,$\frac{22}{7}$,-$\root{3}{2}$,-$\frac{7}{8}$,0,-0.$\stackrel{••}{02}$,1.414,-$\sqrt{7}$,1.2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1).
(1)正有理数集合:{$\root{3}{8}$,$\frac{22}{7}$,1.414, …};
(2)负无理数集合:{-$\root{3}{2}$,-$\sqrt{7}$…}.

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8.为了了解某中学初三年级650名学生升学考试的数学成绩,从中随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,并求得样本的平均成绩是93.5分.下面是根据抽取的学生数学成绩制作的统计表:
分组频数累计频数频率
60.5~70.53a
70.5~80.5正正60.12
80.5~90.5正正90.18
90.5~100.5正正正正170.34
100.5~110.5正正b0.2
110.5~120.550.1
合计501
根据题中给出的条件回答下列问题:
(1)表中的数据a=0.06,b=10;
(2)在这次抽样调查中,样本是50名学生的数学成绩;
(3)在这次升学考试中,该校初三年级数学成绩在90.5~100.5范围内的人数约为221人.

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9.已知:$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2}\\{y=\frac{5-m}{2}}\end{array}\right.$.
(1)用x的代数式表示y;
(2)如果x、y为自然数,那么x、y的值分别为多少?
(3)如果x、y为整数,求(-2)x•4y的值.

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