Question

19．两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm²）．
（1）当点C落在边EF上时，x=15cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数，可得BG的长，根据线段的和差，可得GE的长，根据矩形的性质，可得答案；
（2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案．

解答 解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得
BC=$\frac{AC}{tan30°}$=6$\sqrt{3}$．
在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．
四边形CGEH是矩形，
CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，
故答案为：15；
（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，
∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得
DG=$\frac{1}{2}$x，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，重叠部分的面积为y=$\frac{1}{2}$DG•BG=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²
②当6≤x＜12时，如图3所示．，
BD=x，DG=$\frac{1}{2}$x，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，BE=x-6，EH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-6）．
重叠部分的面积为y=S_△BDG-S_△BEH=$\frac{1}{2}$DG•BG-$\frac{1}{2}$BE•EH，
即y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$（x-6）$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-6）
化简，得y=-$\frac{\sqrt{3}}{24}$x²+2$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$；
③当12＜x≤15时，如图4所示．，
AC=6，BC=6$\sqrt{3}$，BD=x，BE=（x-6），EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-6），
重叠部分的面积为y=S_△ABC-S_△BEG=$\frac{1}{2}$AC•BC-$\frac{1}{2}$BE•EG，
即y=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（x-6）$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-6），
化简，得y=18$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x²-12x+36）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+2$\sqrt{3}$x+12$\sqrt{3}$；
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{x}^{2}（0≤x＜6）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{24}{x}^{2}+2\sqrt{3}x-6\sqrt{3}（6≤x＜12）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+2\sqrt{3}x+12\sqrt{3}（12≤x≤15）}\end{array}\right.$；
（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．，
点M在NG上时MN最短，
NG是△DEF的中位线，
NG=$\frac{1}{2}$EF=$3\sqrt{3}$．
MB=$\frac{1}{2}$CB=3$\sqrt{3}$，∠B=30°，
MG=$\frac{1}{2}$MB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
MN_最小=3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了几何变换综合题，（1）利用了锐角三角函数，矩形的性质；（2）利用面积的和差，分类讨论时解题关键，以防遗漏；（3）利用了垂线段最短的性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数．