Question

11．如图（1），点A是反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象在第一象限内一动点，过A作AC⊥x轴于点C，连接OA并延长到点B，过点B作BD⊥x 轴于点D，交双曲线于点E，连结OE．
（1）若S_△OBE=6，求经过点B的反比例函数解析式．
（2）如图（2），过点B作BF⊥y 轴于点F，交双曲线于点G．
①延长OA到点B，当AB=OA时，请判断FG与BG之间的数量关系，并说明理由．
②当AB=nOA时，请直接写出FG与BG之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出S_△OBD，根据反比例函数k的几何意义求出过点B的反比例函数解析式；
（2）①设OC=a，用a表示出点A的坐标，根据相似三角形的性质表示出点B的坐标，求出FG和BG，计算即可；
②用与①相似的方法分别求出FG和BG，计算即可．

解答 解：（1）设点E的坐标为（x，y），
∵点E在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴xy=4，
则$\frac{1}{2}$xy=2，
∴S_△ODE=2，又S_△OBE=6，
∴S_△OBD=8，
∴过点B的反比例函数解析式为：y=$\frac{16}{x}$；
（2）①设OC=a，
则点A的坐标为（a，$\frac{4}{a}$），
∵AB=OA，
∴点B的坐标为（2a，$\frac{8}{a}$），
∵$\frac{8}{a}$=$\frac{4}{x}$，x=$\frac{a}{2}$，
∴FG=$\frac{a}{2}$，又FB=2a，
∴BG=$\frac{3}{2}$a，
∴FG=$\frac{1}{3}$BG；
②设OC=b，
则点A的坐标为（b，$\frac{4}{b}$），
∵AB=nOA，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n+1}$，
∴点B的坐标为（（n+1）b，$\frac{4（n+1）}{b}$），
∵$\frac{4（n+1）}{b}$=$\frac{4}{x}$，x=$\frac{b}{n+1}$，
∴FG=$\frac{b}{n+1}$，又FB=2b，
∴BG=$\frac{2n+1}{n+1}$b，
∴FG=（2n+1）BG．

点评 本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定和性质是解题的关键．