Question

直线y=x+b与双曲线y=

m

x

交于点A（-1，-5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）直接写出b=

 

，m=

 

；
（2）根据图象直接写出不等式x+b＜

m

x

的解集为

 

；
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值；
（2）根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值；
（3）求得△OAB的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得．

解答：解：（1）把A（-1，-5）代入y=x+b得：-5=-1+b，解得：b=-4．
把A（-1，-5）代入y=

m

x

，得：m=（-1）（-5）=5．
故答案是：-4，5；
（2）解集为：x＜-1或0＜x＜5，
故答案是：x＜-1或0＜x＜5；
（3）OA=

12+52

=

26

，
在y=x-4中，令x=0，解得y=-4，则B的坐标是（0，-4）．
令y=0，解得：x=4，则C的坐标是（4，0）．
故OB=4，AB=

12+(5-4)2

=

2

，BC=4

2

，OC=4．
∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．
过A作AD⊥y轴于点D．则△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．
1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；
2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD=x-4，
∠ABO=∠BCD=135°，
当△AOB∽△DBC时，

OB

CB

=

AB

DC

，即

4

4 2

=

2

x-4

，
解得：x=6，
则D的坐标是（6，0）；
当△AOB∽△BDC时，

OB

DC

=

AB

BC

，即

4

x-4

=

2

4 2

，
解得：x=20，
则D的坐标是（20，0）．
则D的坐标是（6，0）或（20，0）．

点评：本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到∠ABO=∠BCD=135°是本题的关键．