Question

13．阅读以下内容：
（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，根据上面的规律得（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1（n为正整数）；根据这一规律，计算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．

Answer 1

分析 观察给定的算式，根据算式的变化找出变化规律“（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1”，依此规律即可得出结论．

解答 解：观察，发现规律：
（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，…，
∴（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1．
当x=2，n=2017时，
有（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹⁶）=2²⁰¹⁷-1，
∴1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．
故答案为：xⁿ-1；2²⁰¹⁷-1．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据算式的变化找出变化规律是关键．