Question

如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　   　；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，

请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S₀是②中函数S的最大值，直接写出S₀的值．

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）

∵图象过点（0，﹣8）

∴a=

∴二次函数的解析式为y=x²﹣x﹣8；--------------------（2分）

（2）∵y=x²﹣x﹣8=（x²﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）²﹣

∴点M的坐标为（2，﹣）

∵点C的坐标为（0，﹣8），

∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）

∴直线C′M的解析式为：y=﹣x+8

令y=0

得﹣x+8=0

解得：x=

∴点K的坐标为（，0）；-------------------（2分）

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，

此时，1＜t＜2

∵PQ∥OC，

∴△APQ∽△AOC

∴

∵AP=6﹣3t

AQ=18﹣8t，

∴

∴t=

∵t=＞2不满足1＜t＜2；

∴不存在PQ∥OC；-----------------------（3分）

③当0≤t≤1时，S=12t²，函数的最大值是12；

当1＜t≤2时，S=﹣+，函数的最大值是；

当2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函数的最大值为；-------------（3分）

∴S₀的值为_{-----------------（2分）}．