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    16．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：
    请你利用小亮的发现解决下列问题：
    （1）如图1，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于E，且AE=EF，求证：AC=BF．
    请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：

    （2）解决问题：如图2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FE、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是10$\sqrt{2}$+8．

    分析 （1）先判断出△BDF≌△CDM进而得出MC=BF，∠M=∠BFM．再判断出∠M=∠MAC得出AC=MC即可得出结论；
    （2）先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．

    解答 （1）证明：如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，

    在△BDF和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
    ∴△BDF≌△CDM（SAS）．
    ∴MC=BF，∠M=∠BFM．
    ∵EA=EF，
    ∴∠EAF=∠EFA，
    ∵∠AFE=∠BFM，
    ∴∠M=∠MAC，
    ∴AC=MC，
    ∴BF=AC；
    （2）解：如图2，

    ∵MN∥BC，FM∥GN，
    ∴四边形MFGN是平行四边形，
    ∴MF=NG，MN=FG，
    ∵DE是△ABC的中位线，
    ∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE∥BC，
    ∴MN=FG=$\frac{1}{2}$BC=4，
    ∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，
    ∴MF⊥BC时，MF最短，
    即：四边形MFGN的周长最小，
    过点A作AH⊥BC于H，
    ∴FM=AH
    在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，
    ∴AH=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$，
    ∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10$\sqrt{2}$+8．
    故答案为：10$\sqrt{2}$+8．

    点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解（1）关键是△BDF≌△CDM，解（2）的关键是判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小．

    练习册系列答案
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