Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当点N落在BD上时，如图1．

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴ ．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，

∴ ．

∴t= ．

∴当t= 时，点N落在BD上

（2）解：①如图2，

则有QM=QP=t，MB=4﹣t．

∵四边形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵点O是DB的中点，

∴QM=BM．

∴t=4﹣t．

∴t=2．

②如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴DB=5．

∵点O是DB的中点，

∴DO= ．

∴1×t=AD+DO=3+ ．

∴t= ．

∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜

（3）解：①当0＜t≤ 时，如图4．

S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②当 ＜t≤3时，如图5，

∵tan∠ADB= = ，

∴ = ．

∴PG=4﹣ t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4．

∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，

∴ ．

∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3）

=﹣ t2+7t﹣6．

③当3＜t≤ 时，如图6，

∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．

∴∠PQM=∠DAB=90°．

∴PQ∥AD．

∴△BQP∽△BAD．

∴ ．

∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，

∴ ．

∴BQ= ，PQ= ．

∴QM=PQ= ．

∴BM=BQ﹣QM= ．

∵tan∠ABD= ，

∴FM= BM= ．

∴S=S梯形PQMF= （PQ+FM）QM

= [ + ]

= （8﹣t）2

= t2﹣ t+ ．

综上所述：当0＜t≤ 时，S=t2．

当 ＜t≤3时，S=﹣ t2+7t﹣6．

当3＜t≤ 时，S= t2﹣ t+

（4）解：设直线DN与BC交于点E，

∵直线DN平分△BCD面积，

∴BE=CE= ．

①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，

则有△DPN∽△DHE．

∴ ．

∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4，

∴ ．

解得；t= ．

②点P在DO上，连接OE，如图8，

则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴ ．

∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2，

∴PN= （t﹣3）．

∵PQ= （8﹣t），PN=PQ，

∴ （t﹣3）= （8﹣t）．

解得：t= ．

③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，

则有OE=2，OE∥DC．

∴△DSC∽△ESO．

∴ ．

∴SC=2SO．

∵OC= ，

∴SO= = ．

∵PN∥AB∥DC∥OE，

∴△SPN∽△SOE．

∴ ．

∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2，

∴PN= ．

∵PR∥MN∥BC，

∴△ORP∽△OEC．

∴ ．

∵OP=t﹣ ，OC= ，EC= ，

∴PR= ．

∵QR=BE= ，

∴PQ=PR+QR= ．

∵PN=PQ，

∴ = ．

解得：t= ．

综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为 、 、 ．

【解析】（1）可证△DPN∽△DQB，从而有 ，即可求出t的值．（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，就可得到点O在正方形PQMN内部时t的取值范围．（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．（4）由于点P在折线AD﹣DO﹣OC运动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在OC上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．