△ABC是⊙O的内接三角形.BC=$\sqrt{3}$．(1)如图1.若AC是⊙O的直径.∠BAC=60°.延长BA到点D.使得DA=$\frac{1}{2}$BA.过点D作直线l⊥BD.垂足为点D.请将图形补充完整.判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．(2)如图2.∠B=120°.点D是优弧$\widehat{AC}$的中点.DE∥BC交BA延长线于点E.BE=2.请� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

6．△ABC是⊙O的内接三角形，BC=$\sqrt{3}$．
（1）如图1，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA=$\frac{1}{2}$BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．
（2）如图2，∠B=120°，点D是优弧$\widehat{AC}$的中点，DE∥BC交BA延长线于点E，BE=2，请将图形补充完整并求AB的值．

分析（1）作OF⊥l于F，CE⊥l于E，设AD=a，则AB=2AD=2a，只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题．
（2）只要证明△EDA≌△BDC，得AE=BC，即可解决问题．

解答解：（1）图形如图所示，直线l与⊙O相切．
理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO=OC，
∴DF=FE，
∴OF=$\frac{1}{2}$（AD+CE），设AD=a，则AB=2AD=2a，
∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，
∴四边形BDEC是矩形，
∴CE=BD=3a，
∴OF=2a，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，
∴AC=4a，
∴OF=OA，
∴直线l是⊙O切线．
（2）图形如图2所示，连接AD，BD，CD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，∠ABC=120°，
∴∠EBD=∠CBD=60°，
∵DE∥CB，
∴∠ABC+∠E=180°，
∴∠E=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴∠EDB=60°，ED=DB，
∵∠ACD=∠ABD=60°，∠DAC=∠CBD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，DA=DC，
∴∠EDB=∠ADC，
∴∠EDA=∠BDC，
在△EDA和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDA≌△BDC，
∴AE=BC=$\sqrt{3}$，
∵BE=2，
∴AB=BE-AE=2-$\sqrt{3}$．

点评本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造图形中位线，或构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

练习册系列答案

假期生活暑假方圆电子音像出版社系列答案

BEST学习丛书提升训练暑假湖南师范大学出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

16．

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A₁B₁C₁；
（2）△AB₁C的面积为7；
（3）试判断△ABC的形状并说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

17．

解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞-2，}&{①}\\{\frac{2x-1}{3}≤1，}&{②}\end{array}\right.$．请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得x＞-3；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为-3＜x≤2．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

14．

如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，求∠2的度数．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

1．如图，在矩形OABC中，OA=2OC，顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（8，6）．
（1）顶点C的坐标为（-3，4），顶点B的坐标为（5，10）；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒2个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位．当运动时间为2秒时，以点P、Q、C顶点的三角形是等腰三角形，求k的值；
（3）若矩形OABC以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点A到达坐标原点时停止下滑．设矩形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．