Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，若∠BAC＝45°．

（1）求证：OE＝BC；

（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H，若BD＝6，CD＝4，求AD的长；

（3）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，在（2）的条件下求．

Answer 1

【答案】（1）OE＝BC，见解析；（2）12；（3）

【解析】

（1）∠根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；

（2）根据折叠的性质得到∠G＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠GAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，AG＝AF，推出四边形AGHF是正方形，根据勾股定理即可得到结论；

（3）如图，由题意直接根据勾股定理和垂径定理即可得到结论．

解：（1）∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝90°，

∵OB＝OC，OE⊥BC，

∴OE＝BC；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，

∴∠G＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠GAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，AG＝AF，

∴∠GAF＝90°，

∴四边形AGHF是正方形，

∴∠H＝90°，

∵BD＝6，CD＝4，

∴BG＝BD＝6，CF＝CD＝4，BC＝10，

设AD＝x，

∴AG＝AF＝GH＝HF＝x，

∴BH＝x﹣6，HC＝x﹣4，

∵BH2+CH2＝CB2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，

∴x＝12，（负值舍去），

∴AD＝12；

（3）如图，

∵AG＝AF＝AD＝12，BG＝6，CF＝4，

∴AB＝＝＝6，AC＝＝＝4，

∵OM⊥AB于M，ON⊥AC，

∴BM＝AB＝3，CN＝AC＝2，

∵OB＝OC＝BC＝5，

∴OM＝＝＝，ON＝＝＝，

∴＝．