Question

【题目】小明在课外研究中，设计如下题目：直线过点，，直线与曲线交于点．

（1）求直线和曲线的关系式．（图1）

（2）小明发现曲线关于直线对称，他把曲线与直线的交点叫做曲线的顶点．（图2）

①直接写出点的坐标；

②若点从点出发向上运动，运动到时停止，求此时的面积．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②．

【解析】

（1）把，代入，列出关于k和b的二元一次方程组，求出k和b的值，即可求出直线的解析式，把点代入直线解析式，求出n=1，把 代入，即可求出曲线的解析式.

(2)列方程组，方程组的解，即为P点的坐标，由曲线关于直线对称，，可得点C和点D 关于对称，解点D的坐标，通过做辅助线，分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F，得到，求得的面积.

（1）将点，的坐标代入，

得：，解得

∴直线解析式为：，

∵直线过点

∴把C点坐标代入得，n=1，

∴C点坐标为，

将C点坐标代入，解得m=4，

∴曲线的关系式为：.

(2) ①∵点P是曲线与直线的交点，

∴得到方程组，解得，或，

∵x>0,

∴P点的坐标为

②分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F.

∵曲线关于直线对称，

∴当时，点C和点D 关于对称，

∴点D得坐标为（1,4），

∴

，

∴.