Question

【题目】韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2 ， 则x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 阅读下面应用韦达定理的过程：

若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2 ， 求x12+x22的值．

解：该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0

由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1x2===﹣

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=22﹣2×（﹣）

=5

然后解答下列问题：

（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1，x2， 不解方程，求x12+x22的值；

（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）x12+x22=；（2）k的值为﹣1．

【解析】

（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣， x1x2=﹣,再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可；
（2）根据一元二次方程（k-1）x2+（k2-1）x+（k-1）2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．

解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，

由根与系数的关系得：x1+x2=﹣， x1x2=﹣，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；

（2）由根与系数的关系知：=﹣k﹣1，=k﹣1，

α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3

∴k2+3=4，

∴k=±1，

∵k﹣1≠0

∴k≠1，

∴

将代入原方程：﹣2x2+4=0，

△=32＞0，

∴成立，

∴k的值为．