练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，抛物线y=a（x+1）（x-5）与x轴的交点为M，N．直线y=kx+b与x轴交于P（-2，0），与y轴交于C．若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=
    		2
    ，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
    （1）OH的长度等于
     
    ；k=
     
    ，b=
     
    ；
    （2）是否存在实数a，使得抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个精英家教网E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG＜10
    		2
    ，写出探索过程．
    分析：（1）由已知在等腰直角三角形中解出OH的长，因直线过顶点和OH长等于点到直线距离，联立方程求出k，b；
    （2）思维要严密，分两类情况：①若DN为等腰直角三角形的直角边；②若DN为等腰直角三角形的斜边．
    根据相似的比例关系和几何关系，作适合的辅助线，构造垂直从而验证相似比例关系是否成立．
    解答：精英家教网解：（1）∵直线y=kx+b过P（-2，0）?-2k+b=0…①
    ∵AO=BO=
    		2
    ，AO⊥BO?三角形AOB为等腰直角三角形，
    AB=
    		OA2+OB2
    =2?∠OAB=45°?OH=OA×sin45°=1，
    ∵OH=
    |b|
    		1+k2
    =1…②
    由①②方程解得：k=
    		3
    3
    ，b=
    2
    		3
    3
    ，OH=1．

    （2）设存在实数a，使抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
    ∴以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
    ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
    在抛物线y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，则得：M（-1，0），N（5，0）．
    ∴D（2，0），
    ∴ED=DN=3．
    ∴E的坐标为（2，3）．
    把E（2，3）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-
    1
    3
    ．
    ∴抛物线解析式为y=-
    1
    3
    （x+1）（x-5）．
    即y=-
    1
    3
    x2+
    4
    3
    x+
    5
    3
    ．

    ②若DN为等腰直角三角形的斜边，
    则DE⊥EN，DE=EN．
    ∴E的坐标为（3.5，1.5）．
    把E（3.5，1.5）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-
    2
    9
    ．
    ∴抛物线解析式为y=-
    2
    9
    （x+1）（x-5），
    即y=-
    2
    9
    x2+
    8
    9
    x+
    10
    9
    ．
    当a=-
    1
    3
    时，在抛物线y=-
    1
    3
    x2+
    4
    3
    x+
    5
    3
    上存在一点E（2，3）满足条件，
    如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E′点，那么只有可能△DE′N是以DN为斜边的等腰直角三角形，
    由此得E′（3.5，1.5），显然E′不在抛物线．
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    3
    x+
    5
    3
    上，
    因此抛物线y=-
    1
    3
    x2+
    4
    3
    x+
    5
    3
    上没有符合条件的其他的E点．
    当a=-
    2
    9
    时，同理可得抛物线y=-
    2
    9
    x2+
    8
    9
    x+
    10
    9
    上没有符合条件的其他的E点．
    当E的坐标为（2，3），对应的抛物线解析式为y=-
    1
    3
    x2+
    4
    3
    x+
    5
    3
    时，
    ∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
    ∴∠GNP=∠PBO=45°．
    又∵∠NPG=∠BPO，
    ∴△NPG∽△BPO．
    ∴
    PG
    PO
    =
    PN
    PB
    ，
    ∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
    ∴总满足PB•PG＜10
    		2
    ．
    当E的坐标为（3.5，1.5），解得对应的抛物线解析式为y=-
    2
    9
    x2+
    8
    9
    x+
    10
    9
    时，
    同理可证得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
    ∴总满足PB•PG＜10
    		2
    ．
    点评：此题考查在直角三角形中解题技巧，通过解方程组来求抛物线解析式，第二问探究三角形相似问题，考查思维的严密性，不要漏掉其它情况，学会分类讨论．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
    （1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中，四个点可以连接成一个四边形，请你用字母写出下列特殊四边形：菱形
    AHBG
    ；等腰梯形
    HGEF
    ；平行四边形
    EGFM
    ；梯形
    DMHC
    ；（每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分）
    （2）证明其中任意一个特殊四边形；
    （3）写出你证明的特殊四边形的性质．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
    （3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴的一个交点是A（-1，0），与y轴交于点B，直线x=1交x轴于点N．
    （1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
    （2）求经过B、M两点的直线的解析式，并求出此直线与x轴的交点C的坐标；
    （3）若点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请你探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使精英家教网以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）精英家教网．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
    （3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（　　）
    A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案