Question

11．抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b²-4ac＜0；②a+b+c＞0；③c-a=2；④方程ax²+bx+c-2=0有两个相等的实数根．
其中正确的结论是（　　）

• A． ③④
• B． ②④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，则x=1时，a-b+c＜0，则可对②进行判断；由抛物线的对称轴方程得到b=2a，而x=-1时，a-b+c=2，则a-2a+c=2，、于是可对③进行判断；利用抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（-1，2），可得到抛物线与直线y=2只有一个公共点，于是可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以①错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（-1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
而抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵x=-1时，y=2，
即a-b+c=2，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点D（-1，2），
即x=-1时，y有最大值2，
∴抛物线与直线y=2只有一个公共点，
∴方程ax²+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选A．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．