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(2012•德阳)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:AE•FD=AF•EC;
(2)求证:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
分析:(1)由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°,推出CH∥BD,证△AEC∽△AFD,得出比例式即可;
(2)连接OC,BC,证△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,推出BF=DF,根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可;
(3)求出EF=FC,求出∠G=∠FAG,推出AF=FG,求出AB=BG,求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线,由切割线定理得出(2+FG)2=BG×AG=2BG2,在Rt△BFG中,由勾股定理得出BG2=FG2-BF2,推出FG2-4FG-12=0,求出FG即可.
解答:(1)证明:∵BD是⊙O的切线,
∴∠DBA=90°,
∵CH⊥AB,
∴CH∥BD,
∴△AEC∽△AFD,
AE
AF
=
CE
DF

∴AE•FD=AF•EC.

(2)证明:连接OC,BC,
∵CH∥BD,
∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,
CE
DF
=
AE
AF
AE
AF
=
EH
BF

CE
DF
=
AE
AF
=
EH
BF

∵CE=EH(E为CH中点),
∴BF=DF,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠DCB=90°,
∵BF=DF,
∴CF=DF=BF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
即CF=BF.

(3)解:∵BF=CF=DF(已证),EF=BF=2,
∴EF=FC,
∴∠FCE=∠FEC,
∵∠AHE=∠CHG=90°,
∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°,
∵∠AEH=∠CEF,
∴∠G=∠FAG,
∴AF=FG,
∵FB⊥AG,
∴AB=BG,
∵BF切⊙O于B,
∴∠FBC=∠CAB,
∵OC=OA,CF=BF,
∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC,
∴∠FCB=∠CAB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠FCB+∠BCO=90°,
即OC⊥CG,
∴CG是⊙O切线,
∵GBA是⊙O割线,AB=BG(已证),
FB=FE=2,
∴由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2
在Rt△BFG中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2
∴FG2-4FG-12=0,
解得:FG=6,FG=-2(舍去),
由勾股定理得:
AB=BG=
62-22
=4
2

∴⊙O的半径是2
2
点评:本题考查了切线的性质和判定,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线的性质,圆周角定理,勾股定理等知识点的综合运用,题目综合性比较强,有一定的难度.
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(2012•德阳)如图,点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,连接DE,若DE=5,则BC=
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(2012•德阳模拟)在学校开展的“献爱心”活动中,小东同学打算在暑假期间帮助一家社会福利书店推销A,B,C,D四种书刊.为了解四种书刊的销售情况,小东对五月份这四种书刊的销售量进行了统计,小东通过采集数据,绘制了两幅不完整的统计图表(如图),请你根据所给出的信息解答以下问题:
(1)求m、n的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若该书店计划订购此四种书刊共6000册,计算B种书刊应采购多少册较合适?
频率分布表:
书刊种类 频数 频率
   A m 0.25
   B 1000 0.20
   C 750 0.15
   D 2000  n

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(2012•德阳模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点,CB的延长线交⊙O于点E.
(1)求证:AE=CE;
(2)若EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,且CD=CF=2cm,求⊙O的直径;
(3)若EF与⊙O相切于点E,点C在线段FD上,且CF:CD=2:1,求sin∠CAB.

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(2012•德阳)如图,点D是△ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点(不与点B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又AP
.
BE(点P、E在直线AB的同侧),如果BD=
1
4
AB,那么△PBC的面积与△ABC面积之比为(  )

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