Question

如图，是△的外角的平分线，交的延长线于，延长交△的外接圆于点，连结，．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若是△外接圆的直径，，，求的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）可通过证角相等来得出边相等，根据ACBF是圆的内接四边形，那么外角∠DAC=∠FBC，那么关键就是证明∠FCB=∠DAC，根据AD平分∠EAC，即∠EAD=∠DAC=∠FAB，我们发现∠FAB和∠FCB正好对应了同一段弧，因此便可得出∠FBC=∠FCB了；

（2）本题实际要证明△FBA和△FDB相似，（1）中已证得∠FAB=∠FCB=∠FBC，又有一个公共角，因此两三角形就相似了；

（3）根据∠EAC=120°可以得到∠DAC=60°，根据AB是△ABC外接圆的直径可以提出AC⊥BC，然后在直角三角形ABC中，有∠BAC的度数，有BC的长，就能求出AC的长，然后在直角三角形ACD中，根据∠ACD=60°，即可用三角函数求出AD．

（1），，

．

，，

，，

．

，

，

；

（2），，

．又，

△△，

，

即；

（3）是直径，．

，

，

．

在Rt△中，，，．

在Rt△中，．

考点：圆的综合题

点评：本题知识点多，综合性强，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，难度较大，需特别注意.