【题目】如图,M为等腰△ABD的底AB的中点,过D作DC∥AB,连结BC:AB=8cm.DM=4cm,DC=1cm,动点P自A点出发,在AB上匀速运动,动点Q自点B出发,在折线BC﹣CD上匀速运动,速度均为1cm/s,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P运动(s)时,△MPQ的面积为S(不能构成△MPQ的动点除外).
(1)点Q在BC上运动时,求t的取值范围;
(2)当点Q在CD上运动时,求t为何值时,△MPQ是等腰三角形;
(3)求S与t之间的函数关系式;当t为何值时,S有最大值?最大值是多少?
【答案】(1)0<t≤5且t≠4(s);(2)t=秒;(3)当0<t<4时S=﹣t2+;当4<t≤5时,S=t2﹣;当5<t≤6时,S=2t﹣8;当t=6时,S取到最大值,最大值为4
【解析】
(1)过点C作CE⊥AB,垂足为E,可以证到四边形DCEM是矩形,从而可以求出BC的长,然后考虑不能构成△MPQ的情况,即可解决问题.
(2)易证QM≠MP,QP≠MP,若△MPQ是等腰三角形,只能是QM=QP.由QF⊥MP可得:MF=MP.再由MF=DQ=6﹣t,MP=t﹣4可得到关于t的方程,解这个方程即可解决问题.
(3)由于点P在点M的两边时PM的表达式不同,点Q在线段BC和DC上时点Q到PM的距离的表达式不同,因此需分三种情况讨论,然后只需用t的代数式表示出PM及其边上的高,就可求出S与t之间的函数关系式.利用二次函数和一次函数的性质对以上三种情况进行分析,即可解决问题
解:(1)过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图1,
∵DA=DB,AM=BM,
∴DM⊥AB.
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=∠DMB=90°.
∴CE∥DM.
∵DC∥ME,CE∥DM,∠DME=90°,
∴四边形DCEM是矩形.
∴CE=DM=4,ME=DC=1.
∵AM=BM,AB=8,
∴AM=BM=4.
∴BE=BM﹣ME=3.
∵∠CEB=90°,CE=4,BE=3,
∴CB=5.
∵当t=4时,点P与点M重合,不能构成△MPQ,
∴t≠4.
∴当0<t≤5且t≠4(s)时,点Q在BC上运动;
(2)当点Q在CD上运动即5≤t≤6时,如图2,
则有QM≥QF,QP≥QF,即QM≥4,QP≥4.
∵MP=t﹣4<6﹣4,即MP<2,
∴QM≠MP,QP≠MP.
若△MPQ是等腰三角形,则QM=QP.
∵QM=QP,QF⊥MP,
∴MF=PF=MP.
∵MF=DQ=5+1﹣t=6﹣t,MP=t﹣4,
∴6﹣t=(t﹣4).
解得:t=.
∴当t=秒时,△MPQ是等腰三角形.
(3)①当0<t<4时,点P在线段AM上,点Q在线段BC上,
过点Q作QF⊥AB,垂足为F,如图1,
∵QF⊥AB,CE⊥AB,
∴∠QFB=∠CEB=90°.
∴QF∥CE.
∴△QFB∽△CEB.
∴.
∵CE=4,BC=5,BQ=t,
∴=.
∴QF=t.
∵PM=AM﹣AP=4﹣t,
∴S=PMQF
=(4﹣t)t
=﹣t2+t.
②当4<t≤5时,点P在线段BM上,点Q在线段BC上,
∵QF⊥AB,CE⊥AB,
∴∠QFB=∠CEB=90°.
∴QF∥CE.
∴△QFB∽△CEB.
∴.
∵CE=4,BC=5,BQ=t,
∴=.
∴QF=
∵PM=AP﹣AM=t﹣4,
∴S=PMQF
=(t﹣4)
=t2﹣.
③当5<t≤6时,点P在线段BM上,点Q在线段DC上,
此时QF=DM=4.
∵PM=AP﹣AM=t﹣4,
∴S=PMQF
=(t﹣4)×4
=2t﹣8.
综上所述:当0<t<4时S=﹣t2+;当4<t≤5时,S=t2﹣;当5<t≤6时,S=2t﹣8.
①当0<t<4时,S=﹣t2+t=﹣(t﹣2)2+.
∵﹣<0,0<2<4,
∴当t=2时,S取到最大值,最大值为.
②当4<t≤5时,S=t2﹣t,对称轴为x=2.
∵>0,
∴当x>2时,S随着t的增大而增大.
∴当t=5时,S取到最大值,最大值为×52﹣×5=2.
③当5<t≤6时,S=2t﹣8.
∵2>0,
∴S随着t的增大而增大.
∴当t=6时,S取到最大值,最大值为2×6﹣8=4.
综上所述:当t=6时,S取到最大值,最大值为4.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在点A,使得∠APC=30°,则称P为⊙C的半角关联点.
当⊙O的半径为1时,
(1)在点D(,﹣),E(2,0),F(0,)中,⊙O的半角关联点是 ;
(2)直线l:交x轴于点M,交y轴于点N,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的半角关联点,求m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队继续施工,为了不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,∠AOB=90°,点P为∠AOB内部一点,作射线OP,点M在射线OB上,且OM=,点M′与点M关于射线OP对称,且直线MM′与射线OA交于点N.当△ONM'为等腰三角形时,ON的长为______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°,得到△A1O1C1,点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在菱形中,,,点是这个菱形内部或边上的一点,若以点,,为顶点的三角形是等腰三角形,则,(,两点不重合)两点间的最短距离为( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com