Question

【题目】如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC：AB＝8cm．DM＝4cm，DC＝1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．

（1）点Q在BC上运动时，求t的取值范围；

（2）当点Q在CD上运动时，求t为何值时，△MPQ是等腰三角形；

（3）求S与t之间的函数关系式；当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）0＜t≤5且t≠4（s）；（2）t＝秒；（3）当0＜t＜4时S＝﹣t2+；当4＜t≤5时，S＝t2﹣；当5＜t≤6时，S＝2t﹣8；当t＝6时，S取到最大值，最大值为4

【解析】

（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，可以证到四边形DCEM是矩形，从而可以求出BC的长，然后考虑不能构成△MPQ的情况，即可解决问题．

（2）易证QM≠MP，QP≠MP，若△MPQ是等腰三角形，只能是QM＝QP．由QF⊥MP可得：MF＝MP．再由MF＝DQ＝6﹣t，MP＝t﹣4可得到关于t的方程，解这个方程即可解决问题．

（3）由于点P在点M的两边时PM的表达式不同，点Q在线段BC和DC上时点Q到PM的距离的表达式不同，因此需分三种情况讨论，然后只需用t的代数式表示出PM及其边上的高，就可求出S与t之间的函数关系式．利用二次函数和一次函数的性质对以上三种情况进行分析，即可解决问题

解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，

∵DA＝DB，AM＝BM，

∴DM⊥AB．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝∠DMB＝90°．

∴CE∥DM．

∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，

∴四边形DCEM是矩形．

∴CE＝DM＝4，ME＝DC＝1．

∵AM＝BM，AB＝8，

∴AM＝BM＝4．

∴BE＝BM﹣ME＝3．

∵∠CEB＝90°，CE＝4，BE＝3，

∴CB＝5．

∵当t＝4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ，

∴t≠4．

∴当0＜t≤5且t≠4（s）时，点Q在BC上运动；

（2）当点Q在CD上运动即5≤t≤6时，如图2，

则有QM≥QF，QP≥QF，即QM≥4，QP≥4．

∵MP＝t﹣4＜6﹣4，即MP＜2，

∴QM≠MP，QP≠MP．

若△MPQ是等腰三角形，则QM＝QP．

∵QM＝QP，QF⊥MP，

∴MF＝PF＝MP．

∵MF＝DQ＝5+1﹣t＝6﹣t，MP＝t﹣4，

∴6﹣t＝（t﹣4）．

解得：t＝．

∴当t＝秒时，△MPQ是等腰三角形．

（3）①当0＜t＜4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB＝∠CEB＝90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴．

∵CE＝4，BC＝5，BQ＝t，

∴＝．

∴QF＝t．

∵PM＝AM﹣AP＝4﹣t，

∴S＝PMQF

＝（4﹣t）t

＝﹣t2+t．

②当4＜t≤5时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB＝∠CEB＝90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴．

∵CE＝4，BC＝5，BQ＝t，

∴＝．

∴QF＝

∵PM＝AP﹣AM＝t﹣4，

∴S＝PMQF

＝（t﹣4）

＝t2﹣．

③当5＜t≤6时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，

此时QF＝DM＝4．

∵PM＝AP﹣AM＝t﹣4，

∴S＝PMQF

＝（t﹣4）×4

＝2t﹣8．

综上所述：当0＜t＜4时S＝﹣t2+；当4＜t≤5时，S＝t2﹣；当5＜t≤6时，S＝2t﹣8．

①当0＜t＜4时，S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴当t＝2时，S取到最大值，最大值为．

②当4＜t≤5时，S＝t2﹣t，对称轴为x＝2．

∵＞0，

∴当x＞2时，S随着t的增大而增大．

∴当t＝5时，S取到最大值，最大值为×52﹣×5＝2．

③当5＜t≤6时，S＝2t﹣8．

∵2＞0，

∴S随着t的增大而增大．

∴当t＝6时，S取到最大值，最大值为2×6﹣8＝4．

综上所述：当t＝6时，S取到最大值，最大值为4．