Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC.

（1）求点A、B、D的坐标；

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆.

【解析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）.

（2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C（，-），从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：①当△AOD∽△BPC时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3（舍去）；

②△AOD∽△CPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a1=3（舍），a2=；

（3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M（，a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.

（1）∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），

∴A（a，0），B（3，0），

当x=0时，y=3a，

∴D（0，3a）；

（2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴对称轴x=，AO=a，OD=3a，

当x= 时，y=- ，

∴C（，-），

∴PB=3-=，PC=，

①当△AOD∽△BPC时，

∴，

即 ，

解得：a= 3（舍去）；

②△AOD∽△CPB，

∴，

即 ，

解得：a1=3（舍），a2= .

综上所述：a的值为；

（3）能；连接BD，取BD中点M，

∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），

若点C也在此圆上，

∴MC=MB，

∴ ，

化简得：a4-14a2+45=0，

∴（a2-5）（a2-9）=0，

∴a2=5或a2=9，

∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），

∵0<a<3，

∴a=，

∴当a=时，D、O、C、B四点共圆.