Question

【题目】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC，对角线 AC、BD 交于点 O，BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E．连接 OE．

（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；

（2）若 tan∠DBC= ，AB= ，求线段 OE 的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB=∠ABD，证出AD=AB，由AB=BC得出AD=BC，又AD∥BC，所以四边形 ABCD 是平行四边形，又AD＝AB，即可得出结论；

（2）由四边形 ABCD 是菱形，有AB=BC=，BD=2OB，在 Rt△BOC中，由tan∠DBC=，解直角三角形得到OB=6，所以BD=2OB=12，在Rt△BDE中，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出OE的长度．

（1）∵AD∥BC， ∴∠OBC＝∠ADB，

∵BD 为∠ABC 的平分线，

∴∠ABO＝∠DBC，

∴∠ABO＝∠ADB，

∴AD＝AB＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形 ABCD 是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴ABCD 是菱形；

（2）∵四边形 ABCD 是菱形，AB=

∴BC= AB= ，OB=OD，且 AC⊥BD

在 Rt△BOC 中，tan∠DBC=

设 OC=x，则 OB=3x，

∴BC= = x ∴x=2，OB=6

∵DE⊥BC，

∴∠CED=90°， ∵O 为 BD 中点，

∴