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    如图，抛物线y=ax2+bx+
    5
    2
    与直线ABy=
    1
    2
    x+
    1
    2
    交于x轴上的一点A，和另一点B（4，n）．点P是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线PQ与直线AB垂直，交直线AB于点Q，．
    （1）求抛物线的解析式和cos∠BAO的值；
    （2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值；
    （3）点E是抛物线上一点，过点E作EF∥AC，交直线AB与点F，若以E、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点E的坐标．
    分析：（1）令直线AB解析式中y=0求出x的值，确定出A的坐标，将B坐标代入直线AB解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；过B作BH垂直于x轴，由B坐标求出OH与BH的长，根据OA+OH求出AH的长，利用勾股定理求出AB的长，在直角三角形ABH中，利用锐角三角函数定义即可求出cos∠BAO的值；
    （2）过P作PM平行于y轴，交直线AB解析式于点M，PM的长等于P的纵坐标减去M纵坐标，表示出即可；由∠BAH=∠MPQ，得到两角的余弦值相等，在直角三角形MPQ中，由PM表示出PQ，利用二次函数的性质即可求出PQ的最大值；
    （3）由C坐标及直线AB解析式，利用点到直线的距离公式求出C到直线AB的距离，设E坐标为（a，-
    1
    2
    a2+2a+
    5
    2
    ），根据平行四边形的性质得到E到直线AB的距离等于C到直线AB的距离，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出满足题意E的坐标．
    解答：解：（1）把y=0代入y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    得：x=-1，
    ∴A（-1，0），
    把点B（4，n）代入y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    得：n=
    5
    2
    ，
    ∴B（4，
    5
    2
    ），
    把A（-1，0）、B（4，
    5
    2
    ）代入y=ax2+bx+
    5
    2
    得：
    a-b+
    5
    2
    =0
    16a+4b+
    5
    2
    =
    5
    2
    ，
    解得：
    a=-
    1
    2
    b=2
    ，
    ∴y=-
    1
    2
    x2+2x+
    5
    2
    ，
    过点B作BH⊥x轴于点H，则BH=2.5，OH=4，
    ∴AH=5，
    由勾股定理得：AB=
    		AH2+BH2
    =
    5
    		5
    2
    ，
    ∴cos∠BAO=
    AH
    AB
    =
    5
    5
    		5
    2
    =
    2
    		5
    5
    ；
    （2）过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
    P（m，-
    1
    2
    m2+2m+
    5
    2
    ），M（m，
    1
    2
    m+
    1
    2
    ）
    ∴PM=（-
    1
    2
    m2+2m+
    5
    2
    ）-（
    1
    2
    m+
    1
    2
    ）=-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m+2，
    ∵∠BAH=∠MPQ，
    ∴PQ=PMcos∠MPQ=PMcos∠BAH=
    2
    		5
    5
    （-
    1
    2
    m2+
    3
    2
    m+2）=-
    		5
    5
    m2+
    3
    		5
    5
    m+
    4
    		5
    5
    ，
    ∵-
    		5
    5
    ＜0，
    ∴当m=-
    3
    		5
    5
    2×(-
    		5
    5
    )
    =
    3
    2
    时，PQ最大值=
    5
    		5
    4
    ；
    （3）设E（a，-
    1
    2
    a2+2a+
    5
    2
    ），
    ∵C（0，
    5
    2
    ），直线AB解析式为y=
    1
    2
    x+
    1
    2
    ，
    ∴点C到直线AB的距离d=
    |-
    5
    2
    +
    1
    2
    |
    		(
    1
    2
    )    2    +(
    1
    2
    )    2
    =2
    		2
    ，
    ∴E到直线AB的距离d=
    |
    1
    2
    a+
    1
    2
    a2-2a-
    5
    2
    |
    		(
    1
    2
    )    2    +(
    1
    2
    )    2
    =2
    		2
    ，即|
    1
    2
    a2-
    3
    2
    a-2|=2，
    整理得：a2-3a-8=0或a2-3a=0，
    解得：a=
    3+
    		41
    2
    或a=
    3-
    		41
    2
    或a=0（与C重合，舍去）或a=3，
    则E坐标为（3，4），（
    3+
    		41
    2
    ，
    -3+7
    		41
    4
    ），（
    3-
    		41
    2
    ，
    -3-
    		41
    4
    ）
    点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式，点到直线的距离公式，勾股定理，锐角三角函数定义，坐标与图形性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法及点到直线的距离公式是解本题的关键．
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    如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
    1
    2
    ，
    9
    8
    ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
    （3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D精英家教网两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

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    如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，精英家教网O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
    （1）求A，B两点的坐标；
    （2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
    （3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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