Question

在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x²+（k-1）x+2k-1的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，其中k是一元二次方程p²-p-2=0的根，且k＜0．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B两点的坐标；
（2）若直线l：y=mx（m≠0）与线段BC交于点D（点D不与点B、C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出该直线的解析式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵k是方程p²-p-2=0的根，
∴k=-1，或k=2．
又k＜0，
∴k=-1．
∴此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3．
令y=0得x₁=-1，x₂=3
∵点A在点B的左侧
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）假设满足条件的直线l存在
过点D作DE⊥x轴于点E
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°
∴BC=
要使以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，已有∠OBD=∠ABC，
则只需①，或②成立即可．
①当时
有BD=．
在Rt△BDE中，
DE=BD•sin45°=，BE=BD•cos45°=
∴OE=OB-BE=3-=．
∵点D在x轴的下方，
∴点D的坐标为（，）．
将点D的坐标代入l：y=mx（m≠0）中，求得m=-3
∴满足条件的直线l的函数解析式为y=-3x．

②当时
有BD=
同理可得：BE=DE=2，OE=OB-BE=3-2=1
∵点D在x轴下方
∴点D的坐标为（1，-2）．
将点D的坐标代入y=mx（m≠0）中，求得m=-2
∴满足条件的直线l的函数解析式为y=-2x．
∴综上所述满足条件的直线l的解析式是：y=-3x或y=-2x；
点D的坐标为（，）或（1，-2）．
分析：（1）由一元二次方程的解可知K值，从而可得二次函数的解析式，当y=0时，所得x的值就是A，B两点横坐标．
（2）准确运用二次函数的图象和性质，结合相似三角形对应线段的比例关系，可求出D点的坐标．
点评：本题要求数形结合，灵活运用相似三角形的判定定理，求出D点坐标，然后求出直线解析式．综合性较强，需要学生有较强的分析理解能力．