Question

8．已知关于x的两个二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的图象关于原点O成中心对称，给出以下结论：
①a₁c₁=a₂c₂
 ②b₁c₁+b₂c₂=0； 
③函数y₃=y₁-y₂的图象关于y轴对称；
④函数y₄=y₁+y₂的图象是抛物线
则以上结论一定成立的是①②③（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 先求出二次函数y₁关于原点对称的函数解析式，根据二次函数y₁、y₂关于原点对称，从而得出-a₁=a₂、b₁=b₂、-c₁=c₂，即可判断①②，根据y₃=y₁-y₂、y₄=y₁+y₂列出相应函数解析式，由以上结论得出y₃=2a₁x²+2c₁、y₄=2b₁x，即可判断③④．

解答 解：①∵y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的图象关于原点O成中心对称，
且y₁=a₁x²+b₁x+c₁关于原点对称的二次函数为-y₁=a₁x²-b₁x+c₁，即y₁=-a₁x²+b₁x-c₁
∴-a₁=a₂，b₁=b₂，-c₁=c₂，
∴a₁c₁=a₂c₂，故①正确；

②-b₁c₁=b₂c₂，即b₁c₁+b₂c₂=0，故②正确；

③∵y₃=y₁-y₂=a₁x²+b₁x+c₁-（a₂x²+b₂x+c₂）
=（a₁-a₂）x²+（b₁-b₂）x+（c₁-c₂）
=2a₁x²+2c₁，
∴函数y₃=y₁-y₂的图象关于y轴对称，故③正确；

④∵y₄=y₁+y₂=a₁x²+b₁x+c₁+（a₂x²+b₂x+c₂）
=（a₁+a₂）x²+（b₁+b₂）x+（c₁+c₂）
=2b₁x，
∴函数y₄=y₁+y₂的图象过原点的一条直线，故④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查二次函数图象与几何变换，根据题意得出-a₁=a₂、b₁=b₂、-c₁=c₂是解题的关键．