Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠PCA＝∠B．

（1）求证：PC与⊙O相切；

（2）若PA＝4，⊙O的半径为6，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得∠2+∠3＝90°，再证明∠1＝∠3，则∠1+∠2＝90°，然后根据切线的判定定理可得到PC与⊙O相切；

（2）先利用勾股定理得到PC＝8，再证明△PAC∽△PCB，利用相似比得＝，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理得到BC2+BC2＝122，从而解BC的方程即可．

（1）证明：连接OC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即∠2+∠3＝90°，

∵∠1＝∠B，∠3＝∠B，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝90°，即∠PCO＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC与⊙O相切；

（2）解：在Rt△POC中，PC＝＝＝8，

∵∠CPA＝∠BPC，∠1＝∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴＝＝＝，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，

∴BC2+BC2＝122，

∴BC＝．