Question

（2012•永春县质检）在平面直角坐标系中，矩形ABCD与等边△EFG按如图所示放置：点B、G与坐标原点O重合，F、B、G、C在x轴上，AB=3cm，BC=4

3

cm，EF=2

3

cm．
（1）求△EFG的周长；
（2）△EFG沿x轴向右以每秒

3

cm的速度运动，当点G移至与点C重合时，△EFG即停止运动，设△EFG的运动时间为t秒．
①若△EFG移动过程中，与矩形ABCD的重合部分的面积Scm²，求S与t的函数关系式；
②当△EFG移动（

3

+1）秒时，E点到达P点的位置，一开口向下的抛物线y=

1

a

x2+bx过P、O两点且与射线AD相交于点H，与x轴的另一个交点为Q，若OQ+PH为定值，试求出定值，并求出相应的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的周长等于边长的3倍列式计算即可得解；
（2）①分0≤t≤1时，重叠部分是三角形，用t表示出OG的长度，再根据∠EGF的正切值表示出另一直角边，然后根据直角三角形的面积公式列式整理即可；1＜t≤2时，重叠部分是四边形，用t表示出OF的长度，再根据∠EFG的正切值表示出另一直角边，然后根据重叠部分的面积等于等边△EFG的面积减去小直角三角形的面积，列式整理即可；2≤t≤4时，重叠部分是等边△EFG的面积，列式计算即可；
②根据路程=速度×时间求出EP，再求出AP的长度，然后得到点P的坐标，把点P坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式，然后根据抛物线的对称轴求出另一点Q的坐标，再分点H在点P右侧时，利用抛物线的对称性表示出PH、OQ，然后相加，点H在点P左侧时，表示出PH、OQ，然后相加，即可得知为定值的情况，再根据抛物线开口方向向下，PH≥0列式求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵EF=2

3

cm，
∴△EFG的周长=3EF=3×2

3

=6

3

cm；

（2）如图1，①0≤t≤1时，S=

1

2

3

t•（

3

×

3

t）=

3 3

2

t²，
1＜t≤2时，△EFG没进入矩形的三角形的面积为，
S_△=

1

2

•（2

3

-

3

t）•

3

（2

3

-

3

t），
=

3 3

2

（2-t）²，
所以，重叠部分的面积为：S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

）-

3 3

2

（2-t）²，
=3

3

-

3 3

2

（2-t）²，
2≤t≤4时，S=

1

2

×2

3

×（

3

2

×2

3

），
=3

3

；

②∵△EFG移动（

3

+1）秒，速度为每秒

3

cm，
∴EP=

3

（

3

+1）=3+

3

，
∴AP=3+

3

-

3

=3，
∴点P（3，3），
∵点P在抛物线上，
∴ab=a-3，
∵抛物线y=

1

a

x²+bx的对称轴为直线x=-

b

2× 1 a

=-

ab

2

，
∴与x轴的另一个交点Q的坐标为（-ab，0），
抛物线开口向下，a＜0，P、H关于x=-

ab

2

对称，
当点H在点P右侧时，
PH=2（-

ab

2

-3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此时OQ+PH不是定值，舍去；
当点H在点P左侧时，
PH=2（3+

ab

2

）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-

ab

2

）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值为6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得，a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
综上，OQ+PH的定值为6，此时相应的a的取值范围是-3≤a＜0．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及等边三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积，用规则图形的面积表示不规则图形的面积的方法，以及抛物线的对称轴与对称性，（2）要根据重叠部分的形状不同分段求解，（3）要分点H在点P的左、右两侧两种情况讨论．