Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点O在AB的延长线上，OB=，∠AOE=60°，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作⊙P，同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B-C-D向点D运动，Q与D重合时，P，Q同时停止运动，设P的运动时间t秒．

（1）∠BOC= ，PA的最小值是 ；

（2）当⊙P过点C时，求⊙P的劣弧与线段OA围成的封闭图形的面积；

（3）当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）30°；3+2 ；（2）；（3）上述t值均在0≤t≤6范围之内，当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时，t的值是或或4-2

【解析】

（1）在直角△OBC中，先根据锐角的正切求∠BOC的度数；根据垂线段最短可知：当AP⊥OP时，PA的值最小，根据三角函数求AP的最小值；

（2）如图2，作辅助线，构建矩形PCBN，确定⊙P的劣弧与线段OA围成的封闭图形是小弓形OM，根据扇形面积减去三角形面积可得结论；

（3）分三种情况：

①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中的情况，此时t；

②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，根据AN+NO=AO列式可得t的值；

③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，根据PM+PH=BC列式可得t的值．

（1）如图1．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=90°，tan∠BOC，∴∠BOC=30°．

当AP⊥OP时，PA的值最小．

∵OA=AB+OB=4+2．在Rt△AOP中，∵∠AOE=60°，∴sin60，∴AP3+2，∴PA的最小值是3+2．

故答案为：30°，3+2；

（2）如图2，由题意得：OP=半径r=2t，连接PC、PM，则PC=PM=PO=r=2t，∴∠POC=∠PCO=∠BOP﹣∠BOC=60°﹣30°=30°．

∵∠BCO=90°﹣∠BOC=90°﹣30°=60°，∴∠PCB=∠BCO+∠PCO=60°+30°=90°，即半径PC⊥BC（此时直线BC与⊙P相切）．

作PN⊥OM于N，∴∠PNB=∠NBC=∠BCP=90°，∴四边形PCBN是矩形，∴BN=PC=2t．

∵∠NOP=60°，∴在Rt△PNO中，∠OPN=30°，∴ONOP=t．

∵BN+ON=BO，∴2t+t=2，∴t，r，∴当t时，⊙P经过点C，S小弓形OM=S扇形POM﹣S△POM．

∵∠POM=60°且PO=PM，∴△POM是等边三角形，∴OM=2ON=2t，PNt=2，∴S小弓形OM2π．

答：⊙P的劣弧与线段OA围成的封闭图形的面积为π；

（3）①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中⊙P过点C，此时t；

②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，过P作PF⊥AD于F，过P作PN⊥AO于N，AN=FP=r=2t，ONOP=t．

∵AN+NO=AO，∴2t+t=24，t；

③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，过PM⊥DC于M，交OA于H，则PM=OP=2t，PHt．

∵PM+PH=BC，∴2tt=2，t=4﹣2．

综上所述：当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时t的值是或或4﹣2．