Question

7．在ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2；对角线相交于点O，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想DE与BF的数量关系，并证明；
（2）在（1）问条件下，若BE：CE=1：2，∠BEC=135°，求sin∠BEF的值；
（3）当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，设EF与DC交于点P，若OF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）相等，证DE与BF所在的三角形全等即可；
（2）易得∠BEF=90°，那么可得到△BEF各边的比值进而求解；
（3）根据△CFP∽△CDO，利用相似三角形的性质解答．

解答 解：（1）如图1，当三角板旋转到图1的位置时，DE=BF，
∵∠ECB+∠BCF=90°，∠DCE+∠ECB=90°，
∴∠DCE=∠BCF．
∵∠BCD=90°，AB∥CD
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠ACD，
∵BC=2，AB=1，
∴tan∠BAC=2，
∵tan∠ADC=2，
∴∠BAC=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC，
作AM⊥CD于点M，
∴CD=2MC=2AB=2，
∴CD=BC．
∵EC=CF，
∴△DCE≌△BCF．
∴DE=BF．

（2）如图2，∵∠BEC=135°，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°．
∵BE：CE=1：2，
∴BE：EF=1：2$\sqrt{2}$．
∴sin∠BFE=BE：BF=$\frac{1}{3}$．

（3）∵△CFP∽△CDO，
CF：CD=CP：CO=PF：DO
AC=$\sqrt{5}$，
AO：CO=1：2，CO=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
CF=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$-$\frac{\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\frac{\sqrt{5}}{2}$：2=CP：$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
CP=$\frac{5}{6}$，
∵DB=2$\sqrt{2}$，BO：DO=1：2，
∴DO=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴PF=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，PE=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，即PE=$\frac{\sqrt{10}}{6}$．

点评 此题考查了几何变换综合题．此题涉及到了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及矩形的性质等知识，综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．