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如图,CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高,I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心,若AC=3,BC=4,则I1I2=
 
考点:三角形的内切圆与内心
专题:压轴题
分析:首先作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F.在直角三角形ABC中,利用勾股定理求得AB的值,再运用射影定理求得AD、BD的长.因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,即可求得I1E的值.连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,利用垂直的定义,可得到I1D⊥I2D.利用在直角三角形中,直角边也对应角的关系,求得DI1、DI2的值,进而求得I1I2的值.
解答:解:作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F,
在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=
AC2+BC2
=5,
又∵CD⊥AB,由射影定理可得AD=
AC2
AB
=
9
5

∴BD=AB-AD=
16
5
,CD=
AC2-AD2
=
12
5

∵I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,
∴I1E=
1
2
(AD+CD-AC)=
3
5

连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,
∵∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°,
∴∠I1DI2=90°,
∴I1D⊥I2D,DI1=
I1E
sin∠ADI1
=
3
5
sin45°
=
3
2
5

同理,可求得I2F=
4
5
,DI2=
4
2
5

∴I1I2=
I1D2+I2D2
=
2
点评:本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形.解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I1、I2的半径,再利用勾股定理求得DI1、DI2,最后在证明I1D⊥I2D的基础上求得I1I2的值.
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