【题目】如图,二次函数的图象与轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-4,0),P是抛物线上一点 (点P与点A、B、C不重合).
(1)b= ,点B的坐标是 ;
(2)设直线PB直线AC交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:MB=1:2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC、BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.
【答案】(1);(,0);(2)存在点P的横坐标为或.(3)∠CBA=2∠CAB.理由见解析.
【解析】
(1)由点A的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值,代入y=0求出x值,进而可得出点B的坐标;
(2)(解法一)代入x=0求出y值,进而可得出点C的坐标,由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式,假设存在,设点M的坐标为(m,m+2),分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑,由点B、M的坐标结合PM:MB=1:2即可得出点P的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论;
(解法二)代入x=0求出y值,进而可得出点C的坐标,由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式,过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′,过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′,由点B的坐标可得出BB′的值,结合相似三角形的性质可得出PP′的值,设点P的坐标为(x,-x2-x+2),则点P′的坐标为(x,x+2),结合PP′的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程,解之即可得出结论;
(3)作∠CBA的角平分线,交y轴于点E,过点E作EF⊥BC于点F,设OE=n,则CE=2-n,EF=n,利用面积法可求出n值,进而可得出,结合∠AOC=90°=∠BOE可证出△AOC∽△BOE,根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠EBO,再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB,此题得解.
(1)点在二次函数的图象上,
,
.
当时, 有,
解得:,,
点的坐标为,.
故答案为:;,.
(2) (方 法一) 当时,,
点的坐标为.
设直线的解析式为,
将、代入中,
得:,解得:,
直线的解析式为.
假设存在, 设点的坐标为.
①当点、在直线的异侧时, 点的坐标为,,
点在抛物线上,
,
整理, 得:.
△,
方程无解, 即不存在符合题意得点;
②当点、在直线的同侧时, 点的坐标为,,
点在抛物线上,
,
整理, 得:,
解得:,,
点的横坐标为或.
综上所述: 存在点,使得,点的横坐标为或.
(3),理由如下:
作的角平分线, 交轴于点,过点作于点,如图 2 所示 .
点,,点,
,,.
设,则,,
由面积法, 可知:,即,
解得:.
,,
,
,
.
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【题目】某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h(即m/s),交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度检测点A,在如图所示的坐标系中,A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角;
(2)写出点B、点C坐标;
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s.请你通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?(本小问中取1.7)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x轴上,点B1,B2,B3…都在直线y=x上,OA1=1,且△B1A1A2,△B2A2A3,△B3A3A4,…△Bn A n A n+1…分别是以A1,A2,A3,…An…为直角顶点的等腰直角三角形,则△B10A10A11的面积是________.
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【题目】为了了解一路段车辆行驶速度的情况,交警统计了该路段上午7::0至9:00来往车辆的车速(单位:千米/时),并绘制成如图所示的条形统计图.这些车速的众数、中位数分别是( )
A. 众数是80千米时,中位数是60千米时
B. 众数是70千米时,中位数是70千米时
C. 众数是60千米时,中位数是60千米时
D. 众数是70千米时,中位数是60千米时
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【题目】为了解某市初中学生课外阅读情况,调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)该市共有12000名初中生,估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=+bx﹣4经过A(﹣4,0),C(2,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,点B是抛物线与y轴交点.判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
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【题目】如图,点C是半圆上一动点,以BC为边作正方形BCDE,使在正方形内,连OE,若AB=4cm,则OD的最大值为_____________cm.
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【题目】反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴,交y=的图象于点A,PD⊥y轴,交y=的图象于点B.当点P在y=的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积不会发生变化;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )
A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°
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