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    18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的直角边OC在y轴正半轴上，且顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为（2，4），直线y=-x+b过点A，与x轴交于点B．
    （1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
    （2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度沿BO的方向向O运动，过点M作MQ⊥x轴，交线段BA或线段AO于点Q，当点P到达A点时，点P和点M都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．△APQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
    （3）是否存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）先将点A（2，4）代入y=-x+b，运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值，即可得到与x轴交点B的坐标；
    （2）①先求出直线AB与y轴交点D的坐标，由B、D两点的坐标，可知△OBD是等腰直角三角形，再过点A作AN⊥OB于N，可得AN=OC=4，BN=AN=4，则当点P到达点C时，点M到达点N，所以分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，用含t的代数式分别表示PQ、CP，再根据S=$\frac{1}{2}$PQ•CP即可求解；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，延长MQ交AC于点E，用含t的代数式分别表示AP、QE，再根据S=$\frac{1}{2}$AP•QE即可求解；
    ②分两种情况讨论：（i）当0≤t≤4，即点P在OC上，点Q在BA上时，先由三角形面积公式求出S△MPQ=-$\frac{1}{2}$t2+3t，再根据S△MPQ=S=$\frac{1}{2}$t2-5t+12列出方程，解方程即可；（ii）当4＜t≤6，即点P在AC上，点Q在AO上时，先由三角形面积公式求出S△MPQ=（6-t）|10-2t|，再根据S△MPQ=S=（6-t）（t-4），列出方程，解方程即可．

    解答 解：（1）将点A（2，4）代入y=-x+b，
    得4=-2+b，解得b=6，
    ∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
    当y=0时，x=6，
    ∴点B的坐标为（6，0）．

    （2）设直线y=-x+6与y轴交于点D，则D（0，6），
    ∵B（6，0），
    ∴OB=OD=6，∠OBD=∠ODB=45°．
    过点A（2，4）作AN⊥OB于N，则AN=OC=4，ON=AC=2，BN=AN=4，
    ∴当点P到达点C时，点M到达点N．
    分两种情况讨论：
    （i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图1．
    ∵OP=t，BM=QM=t，
    ∴PQ∥OB，PQ=OM=OB-BM=6-t，CP=OC-OP=4-t，
    ∴S=$\frac{1}{2}$PQ•CP=$\frac{1}{2}$（6-t）（4-t）=$\frac{1}{2}$t2-5t+12；
    （ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图2，延长MQ交AC于点E．
    ∵OC+CP=t，BM=t，
    ∴AP=6-t，OM=OB-BM=6-t．
    ∵tan∠AON=$\frac{QM}{OM}$=$\frac{AN}{ON}$，
    ∴$\frac{QM}{6-t}$=$\frac{4}{2}$，
    ∴QM=12-2t，
    ∴QE=EM-QM=4-（12-2t）=2t-8，
    ∴S=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$（6-t）（2t-8）=-t2+10t-24．
    综上可知，S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{2}t}^{2}-5t+12（0≤t≤4）}\\{{-t}^{2}+10t-24（4＜t≤6）}\end{array}\right.$；

    ②存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，理由如下：
    分两种情况讨论：
    （i）当0≤t≤4时，点P在OC上，点Q在BA上，如图3．
    ∵S△MPQ=$\frac{1}{2}$PQ•QM=$\frac{1}{2}$（6-t）t=-$\frac{1}{2}$t2+3t，S=$\frac{1}{2}$t2-5t+12，
    ∴-$\frac{1}{2}$t2+3t=$\frac{1}{2}$t2-5t+12，
    整理，得t2-8t+12=0，
    解得t1=2，t2=6（不合题意舍去）；
    （ii）当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AO上，如图4．
    ∵QM=12-2t，PE=|CE-CP|=|（6-t）-（t-4）|=|10-2t|，
    ∴S△MPQ=$\frac{1}{2}$QM•PE=$\frac{1}{2}$（12-2t）|10-2t|=（6-t）|10-2t|，
    又∵S=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$（6-t）（2t-8）=（6-t）（t-4），
    ∴（6-t）|10-2t|=（6-t）（t-4），
    ∵t=6时，M与Q重合，不合题意舍去，
    ∴10-2t=±（t-4），
    当10-2t=t-4时，t=$\frac{14}{3}$；
    当10-2t=-（t-4）时，t=6舍去．
    综上可知，存在以M、P、Q为顶点的三角形的面积与S相等，此时t的值为2或$\frac{14}{3}$．

    点评 本题是一次函数的综合题型，主要考查了运用待定系数法求直线的解析式，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，三角形的面积，要注意（2）中，要根据P与Q点的不同位置进行分类求解，本题难度适中．

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