Question

15．已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°-α时，探索下面两个问题：
①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；
②当OC在OD右侧，请在图2内补全图形，并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，当∠COD=kα，且OC在OD左侧时，直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）①根据角平分线的定义，得出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根据∠AOB=α，∠COD=180°-α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，进而得出∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（2α-180°）=α-90°，最后根据∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）进行计算即可；②根据①中的方法进行计算，即可得出∠MON的度数；
（2）先根据角平分线的定义，得出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根据∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，进而得到∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（α-kα）=$\frac{1}{2}$α（1-k），最后根据∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）进行计算即可．

解答 解：（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（2α-180°）=α-90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-（α-90°）=90°；

 ②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°-α）=180°，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-90°；

（2）∠MON的度数为$\frac{1}{2}$（1+k）α．
理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=kα，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（α-kα）=$\frac{1}{2}$α（1-k），
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-$\frac{1}{2}$α（1-k）=$\frac{1}{2}$（1+k）α．

点评 本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是运用角的和差关系进行计算．解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．