Question

14．如图，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）设点D在已知抛物线的对称轴上，当△BCD的面积与△ACB的面积相等时，求点D的坐标；
（3）若点P在已知抛物线对称轴上，当∠BPC为钝角时，试求点P纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把x=0和y=0分别代入可求得；
（2）设BC交对称轴于点E，分两种情况：①当D在点E的上方时，如图1，②当D在点E的下方时，如图2，DE的值分别表示出来，代入等量关系式：△BCD的面积与△ACB的面积相等即可；
（3）首先计算当对称轴上的点与B、C成直角时，纵坐标的值，即以BC为直径的圆与对称轴的交点正好满足与B、C成直角，即交点为G、H，则在圆内且在对称轴上的点就是符合条件的点P，根据勾股定理列式求出点G、H的纵坐标，就可以得出符合条件的取值范围．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
（2）设BC交对称轴于点E，直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0）和C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
当x=1时，y=-2，
∴E（1，-2），
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
设D（1，y），
分两种情况：
①当D在点E的上方时，如图1，
DE=y+2，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•OB，
∴$\frac{1}{2}$（y+2）×3=6，
y=2，
∴D（1，2），
②当D在点E的下方时，如图2，
DE=-2-y，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•OB，
∴$\frac{1}{2}$（-2-y）×3=6，
y=-6，
∴D（1，-6），
综上所述，点D的坐标是（1，2）或（1，-6）；
（3）如图3，以BC为直径作圆，交对称轴于G、H，连接BG、CG、CH、BH
则∠BGC=∠BHC=90°，
设G（1，m），H（1，n），
由勾股定理得：CG²+BG²=BC²，
1²+（m+3）²+（1-3）²+m²=3²+3²，
解得：m=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，
同理得：n=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，
∵点P在已知抛物线对称轴上，∠BPC为钝角，
∴点P在线段GH上（不包含两个端点），
设P（1，y），
∴$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$＜y＜$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点及圆周角定理，明确与x轴垂直的直线上的两点的距离等于纵坐标差的绝对值，同时利用了不规则三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半进行计算，这一方法可以简化面积的求法，非常适用．