Question

9．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BAC=40°时，∠ADE的度数．
（3）过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO=EF=2时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质，底边上的高也是底边上的中线；
（2）先求出∠BAE，再利用圆内接四边形的对角互补即可得出结论，
（3）先利用切线得出∠OEF=90°，从而得出等腰直角三角形，再用面积之差求出阴影部分面积．

解答 解：（1）如图，

连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）由（1）知，∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=20°，
∵四边形ABED是圆内接四边形
∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，
∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，
（3）连接OE，
∵EF且⊙O于E，
∴OE⊥EF，
∵AO=EF=OE=2，
∴∠BOE=45°，
∴S=S△CEF-S扇形OBE=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{45×π×4}{360}$=2-$\frac{π}{2}$

点评 此题是切的性质，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是利用圆内接四边形求出∠ABE．