Question

如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求直线CD的解析式；
（2）是否存在x轴上的点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与△DAO相似？若存在，请写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB，即可求得OA与OB的长，又由?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，可求得点D的坐标，继而求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线CD的解析式；
（2）由在x轴上的点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与△DAO相似，可得∠AOE=∠OAD=90°，然后由相似三角形的性质，即可求得符合条件的点E的坐标．

解答：解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
解得：x=3或x=4，
∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴点A（0，4），点B（-3，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴点C（3，0），点D（6，4），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴

3k+b=0 6k+b=4

，
解得：

k= 4 3 b=-4

，
故直线CD的解析式为：y=

4

3

x-4；

（2）存在．
∵点E在x轴上，
∴∠AOE=90°，
∵△DAO中，∠DAO=90°，
∴∠AOE=∠DAO，
当OA：AD=OE：OA时，△OAE∽△ADO，
∴

4

6

=

OE

4

，
解得：OE=

8

3

，
∴点E的坐标为：（

8

3

，0）或（-

8

3

，0）；
当OA：OA=OE：AD时，△OAE∽△AOD，
∴

4

4

=

OE

6

，
解得：OE=6，
∴点E的坐标为：（6，0）或（-6，0）；
∴符合条件的点E的坐标为：（

8

3

，0），（-

8

3

，0），（6，0）或（-6，0）．

点评：此题考查了平行四边形的性质、一元二次方程的解法、待定系数法求一次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．