【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6,点M为AB边上一点,AM=4,点N为AD边上的一动点,沿MN将△AMN翻折,点A落在点P处,当点P在菱形的对角线上时,AN的长度为_____.
【答案】4或10﹣2.
【解析】
分两种情况:①当点在菱形对角线上时,由折叠的性质得:,,证出,得出;
②当点在菱形对角线上时,设,由折叠的性质得:,,,求出,证明,得出比例线段,可求出答案
解:分两种情况:①当点P在菱形对角线AC上时,如图1所示:
由折叠的性质得:AN=PN,AM=PM,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴∠PAM=∠PAN=30°,
∴∠AMN=∠ANM=90°﹣30°=60°,
∴AN=AM=4;
②当点P在菱形对角线BD上时,如图2所示:
设AN=x,
由折叠的性质得:PM=AM=4,PN=AN=x,∠MPN=∠A=60°,
∵AB=6,
∴BM=AB﹣AM=2,
∵四边形ABCD是菱形,
,,
∵∠BPN=∠BPM+60°=∠DNP+60°,
∴∠BPM=∠DNP,
∴△PDN∽△MBP,
,即,
,
,
解得:或(不合题意舍去),
综上所述,的长为4或.
故答案为:4或.
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【题目】(发现)
如图∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图①).
如图②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?请证明点D也不在⊙O内.
(应用)
利用(发现)和(思考)中的结论解决问题:
(1)如图④,已知∠BCD=∠BAD,∠CAD=40°,求∠CBD的度数.
(2)如图⑤,若四边形ABCD中,∠CAD=90°,作∠CDF=90°,交CA延长线于F,点E在AB上,∠AED=∠ADF,CD=3,EC=2,求ED的长.
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【题目】2020年2月10日,光明中学团委利用网络平台组织八年级600名学生参加“全民抗疫”知识大赛.为了了解本次大赛的成绩,随机抽取了部分学生的成绩作为样本,按,,,四个等级进行统计,制成如下不完整的统计图.
(说明:级80分-100分,级70分-79分,级60-69分,级0分-59分)
根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,级对应的扇形的圆心角是______度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在______等级;
(4)若成绩达到等级的学生可以选为志愿者,请估计该校八年级600名学生中可以选为志愿者学生有多少人?
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【题目】如图,在□ABCD中,点E是边BC的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,连接AC,BF.
(1)求证:△ABE≌△FCE;
(2)当四边形ABFC是矩形时,当∠AEC=80°,求∠D的度数.
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【题目】某校为了解全校学生到校上学的方式,在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查,问卷给出了四种上学方式供学生选择,每人只能选一项,且不能不选.将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均不完整).
根据以上信息,解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)如果全校有1200名学生,学习准备的400个自行车停车位是否够用?
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC.
(1)若点C在反比例函数y=的图象上,求该反比例函数的解析式;
(2)点P(4,m)在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,当△PAD与△OAB相似且P点在(1)中反比例函数图象上时,求出P点坐标.
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【题目】如图,以为直径的半圆上有一点,连接,点是上一个动点,连接,作交于点,交半圆于点.已知:,设的长度为,的长度为,的长度为(当点与点重合时,,,当点与点重合时,,).
小青同学根据学习函数的经验,分别对函数,随自变量变化而变化的规律进行了探究.
下面是小青同学的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量,分别得到了,与的几组对应值,请补全表格;
0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | |
5 | 2.85 | 1.98 | 1.52 | 1.21 | 0.97 | 0.76 | 0.56 | 0.37 | 0.19 | 0 | |
0 | 0.46 | 1.29 | 1.61 | 1.84 | 1.96 | 1.95 | 1.79 | 1.41 | 0 |
(2)在同一平面直角坐标系中,描出补全后的表中各组数值所对应的点,,并画出函数,的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
①当,的长都大于时,长度的取值范围约是 ;
②点,,能否在以为圆心的同一个圆上? (填“能”或“否”)
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【题目】如图,半圆的直径AB=10cm,弦AC=6cm,把AC沿直线AD对折恰好与AB重合,则AD的长为( )
A.4cmB.3cmC.5cmD.8cm
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【题目】如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为,则HD的长为____ .
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