Question

二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C
（1）求m的值和点B的坐标
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
∴0=-9+6+m，
∴m=3，
∴该二次函数的解析式是y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1．
B（-1，0）；

（2）∵由（1）知，y=-x²+2x+3，
∴当x=0时，y=3，
∴OC=3．
又∵A（3，0），B（-1，0）．
∴AB=4，
∴S_△ABC=AB•OC=×4×3=6，即△ABC的面积是6．
分析：（1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出m值，再当y=0时，求出关于新的一元二次方程的解，就可以求出另一个交点坐标；
（2）由（1）中的函数解析式求得点C的坐标是（0，3），则OC=3．然后根据点A、B的坐标求得线段AB的长度；最后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积．
点评：本题是一道关于二次函数的运用的试题，考查了待定系数法的运用和抛物线与x轴的交点坐标．解题时注意，二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间的关系．