Question

18．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点A（3，$\frac{20}{3}$），点B是双曲线第三象限上的一个动点，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E．
（1）k的值为20；
（2）若△ABD的面积为$\frac{80}{3}$，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，若直线AB与x轴交于点C，猜想四边形CBED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出k的值，
（2）先利用三角形ABD的面积求出BE即可得出点B的横坐标，代入双曲线解析式中，即可得出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（3）由（2）得出的直线AB的解析式即可求出点C的坐标，进而求出CD=5=BE判断出四边形CBED是平行四边形，最后求出DE=5=CD，即可得出结论．

解答 解：∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点A（3，$\frac{20}{3}$），
∴k=3×$\frac{20}{3}$=20，
故答案为20；

（2）如图，

延长BE，AD相交于F，
∴BF⊥AF，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BF=$\frac{1}{2}$AD•（BE+EF）=$\frac{1}{2}$AD•（BE+OD）=$\frac{1}{2}$×$\frac{20}{3}$（BE+3）=$\frac{80}{3}$，
∴BE=5，
∵点B是双曲线第三象限上的一个动点，
将x=-5代入y=$\frac{20}{x}$中，得，y=-4，
∴B（-5，-4）；
设直线AB的解析式为y=mx+b（m≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5m+b=-4}\\{3m+b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

（3）四边形CBED是菱形，
理由：由（2）知，B（-5，-4），直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；
∴C（-2，0），∵D（3，0），
∴CD=5=BE，
∵CD∥BE，
∴四边形CBED是平行四边形，
∵E（0，-4），
∴DE=5=BE，
∴?CBED是菱形．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，平行四边形的判定，菱形的判定方法，解（2）的关键是求出点B的横坐标，解（3）的关键是求出点C的坐标，是一道比较简单的中考常考题．