Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交⊙O于点D，交BC于点E,点F在DA的延长线上，且∠ABF＝∠C ．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，cos∠ABF=，求BC的长．

Answer 1

证明：（1）如图，联结BD

∵ AD⊥AB

∴ DB是⊙O的直径       

∵∠D=∠C，∠ABF=∠C

∴∠D=∠ABF              

∴

即OB⊥BF

∴ BF是⊙O的切线      

（2）联结ＯA交BC于点G

∵AC=AB

∴弧AC=弧AB

∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC,BG=CG

∴

在Rt△ABD中，∠DAB=90°，

∴， ∴        

在Rt△ABG中，∠AGB=90°

∴                         

∴