Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKIBC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC？
（3）t为何值时，四点P、Q、C、E成为一个平行四边形的顶点？
（4）△PQE能为直角三角形时t的取值范围

0＜t≤25且t≠

155

8

或t=35

．（直接写出结果）（注：备用图不够用可以另外画）

Answer 1

分析：（1）把BA，AD，DC它们的和求出来再除以速度每秒5个单位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的长；
（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，用t分别表示QC，BA，AP，然后就可以得出关于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）分情况讨论，当P在BA上运动时，E在CD上运动．0≤t≤10，QC的长度≤30，PE的长度＞AD=75，QC＜PE，此时不能构成以P、Q、C、E为顶点的平行四边形；当P点运动到AD上，E在AD上，且P在E的左侧时，P、Q、C、E为顶点的四边形可能是平行四边形，根据平行四边形的性质建立方程求出其解就可以得出结论；当P在E点的右侧且在AD上时，t≤25，P、Q、C、E为直角梯形，当P在CD上，E在AD上QE与PC不平行，P、Q、C、E不可能为平行四边形，
（4）①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t-50+3t-30≠75，解得t≠

155

8

．③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3-30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，
∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．

解答：解：（1）t=（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C，
此时，QC=35×3=105，
∴BQ的长为135-105=30．
（2）如图1，若PQ∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PD=QC，
由QC=3t，BA+AP=5t
得50+75-5t=3t，
解得t=

125

8

．
∴当t=

125

8

时，PQ∥DC．
（3）当P在BA上运动时，E在CD上运动．0≤t≤10，QC的长度≤30，PE的长度＞AD=75，QC＜PE，此时不能构成以P、Q、C、E为顶点的平行四边形；
当P点运动到AD上，E在AD上，且P在E的左侧时，P、Q、C、E为顶点的四边形是平行四边形，如图5，
∴PE=QC．
如图1，作DH⊥BC于H，AG⊥BC于G，
∠AGB=∠DHC=90°
∴四边形AGHD是矩形，
∴GH=AD=75．AG=DH．
在△ABG和△DCH中，

AB=DC AG=DH ∠AGB=∠DHC

，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=CH=

1

2

（135-75）=30，
∴ED=3（t-10）
∵AP=5t-50，
∴PE=75-（5t-50）-3（t-10）=155-8t．
∵QC=3t，
∴155-8t=3t，
t=

155

11

．
当P在E点的右侧且在AD上时，t≤25，P、Q、C、E为直角梯形，
当P在CD上，E在AD上QE与PC不平行，P、Q、C、E不可能为平行四边形，
∴t=

155

11

；
（4）①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2．
过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB•sinB=4t，
又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，
即5t-50+3t-30≠75，解得t≠

155

8

．③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），
即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3-30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故
∠EPQ不会是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．
对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C
重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE
为直角三角形．
综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠

155

8

或t=35．
故答案为：0＜t≤25且t≠

155

8

或t=35．

点评：本题综合性很强，考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的性质的运用，勾股定理的性质的运用及矩形的性质的运用，把图形的变换放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．