Question

已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．
（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

Answer 1

分析：（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小等于∠BAC，所以不会改变，度数可知；
（2）先确定这两个三角形的面积求法，即找出底边和高，然后计算这些线段之间的数量关系即可得到答案．

解答：解：（1）不变，其度数为：45°；
设对角线交于O点，
由题意可知∠BAE=α°，∠OAQ=α°，所以∠BAE=∠OAQ
因为∠ABE=∠AOQ=90°
所以△ABE∽△AOQ
∴AB：AO=AE：AQ
所以AB/AE=AO/AQ，又因为∠BAO=∠EAQ=45°，
所以△BAO∽△EAQ，
所以∠AEQ=∠ABO=45°，
所以∠AEQ的度数不变；

（2）结论：S_△AEF=2S_△APQ
证明：∵∠AEQ=45°，∠EAF=45°
∴∠EQA=90°
∴AE=

2

AQ
过点Q作QG⊥AE于点G，
同理可得，AF=

2

AP
过点P作PH⊥AF于H，
∴S_△AEF=

1

2

AF•EQ=

1

2

×

2

AP•AQ=

2

2

AP•AQ=PH•AQ=2S_△APQ

点评：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形面积公式和直角三角形的性质．