Question

7．有四个一模一样的小球，上面分别标有-2，0，2，3四个数字．从中任意模一个小球，将上面的数字记为a（不放回），再摸一个小球，将上面的数字记为b，这样的数字a，b能使关于x的一元二次方程（a-1）x²+bx+1=0有实数根的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据根的判别式的意义得到a-1≠0且△=b²-4（a-1）≥0，则4a-b²≤4，再画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后找出满足4a-b²≤4的结果数，再根据概率公式求解．

解答 解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x²+bx+1=0有实数根，
∴a-1≠0且△=b²-4（a-1）≥0，则4a-b²≤4，
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中满足4a-b²≤4的结果数为8，
所以能使关于x的一元二次方程（a-1）x²+bx+1=0有实数根的概率=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了根的判别式．