Question

如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．

Answer 1

分析：由已知条件，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

解答：证明：∵BE平分∠FBC，BE⊥CF，
∴BF=BC，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
在△ABD和△ACF中，
∵

∠F=∠ADB ∠FAC=∠DAB=90° AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

点评：本题考查了等腰三角形的判断与性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质．