Question

10．如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF=∠CDE=90°．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，证出∠BAC=∠DCA，由ASA证明△ABF≌△CDE，得出BF=DE，∠AFB=∠CED，证出BF∥DE，即可得出结论；
（2）连接BD交AC于G，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，证出四边形BEDF是菱形，得出BE=BF=6，由勾股定理求出AF，由三角形的面积关系求出BG，再由勾股定理求出EG，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABF=∠CDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，∠AFB=∠CED
∴BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于G，如图所示：
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BE=BF=6，EG=FG，
∵∠ABF=90°，AB=AD=8，BF=6，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=10，
∵△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AF•BG=$\frac{1}{2}$AB×BF，
∴BG=$\frac{AB×BF}{AF}$=$\frac{24}{5}$，
∴EG=$\sqrt{B{E}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴AE=AF-2EG=10-2×$\frac{18}{5}$=$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．