Question

20．对于二次函数y=x²-2mx-3，有下列说法：
①如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m≥1；
②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则m=±1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=-1；
④如果当x=1时的函数值与x=2016时的函数值相等，则当x=2017时的函数值为-3．
其中正确的说法是②④．

Answer 1

分析 首先用m表示出二次函数图象的对称轴，然后结合图象的单调性即可对①作出判断；
用m表示出图象与x轴的两交点的距离，再解出m的值即可对②作出判断；
先把二次函数y=x²-2mx-3化为顶点坐标式，根据函数最小值为4即可求出m的值，进而对③作出判断；
先求出对称轴为x=1008.5，然后可知x=2017时的函数值与x=0值相等，据此对④作出判断．

解答 解：①∵当x≤1时y随x的增大而减小，
∴函数的对称轴x=-$\frac{-2m}{2}$≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），
∴m≥1，故本选项错误；
②令y=x²-2mx-3=0，x₁+x₂=2m，x₁x₂=-3，
|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4m²+12=16，
解得m=±1，故本选项正确；
③二次函数y=x²-2mx-3=（x-m）²-m²-3，
当图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，
则-m²-3=-4，
解得m=±1，故本选项错误；
④当x=1时的函数值与x=2017时的函数值相等，
则二次函数图象对称轴为x=1008.5，
则x=2017时的函数值与x=0值相等，
则当x=2017时的函数值为-3，故本选项正确；
故答案为②④．

点评 本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是要掌握二次函数图象的对称轴，开口方向、函数的单调性等知识，此题难度不大．