Question

10．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式列方程即可得到结论；
（2）由点C与点D关于x轴对称，得到D（0，-2），解方程即可得到结论；
（3）如图1所示：根据平行四边形的性质得到QM=CD，设点Q的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），则M（m，$\frac{1}{2}$m-2），列方程即可得到结论；
（4）设点Q的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），分两种情况：①当∠QBD=90°时，根据勾股定理列方程求得m=3，m=4（不合题意，舍去），②当∠QDB=90°时，根据勾股定理列方程求得m=8，m=-1，于是得到结论．

解答 解：（1）∵令x=0得；y=2，
∴C（0，2）．
∵令y=0得：-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$=0，
解得：x₁=-1，x₂=4．
∴A（-1，0），B（4，0）．

（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，-2）．
设直线BD的解析式为y=kx-2．
∵将（4，0）代入得：4k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$．
∴直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
（3）如图1所示：

∵QM∥DC，
∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形．
设点Q的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
则M（m，$\frac{1}{2}$m-2），
∴-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m-2）=4，
解得：m=2，m=0（不合题意，舍去），
∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）存在，设点Q的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
∴①当∠QBD=90°时，
由勾股定理得：BQ²+BD²=DQ²，
即（m-4）²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）²+20=m²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2+2）²，
解得：m=3，m=4（不合题意，舍去），
∴Q（3，2）；
②当∠QDB=90°时，
由勾股定理得：BQ²=BD²+DQ²，
即（m-4）²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）²=20+m²+（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2+2）²，
解得：m=8，m=-1，
∴Q（8，-18），（-1，0），
综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，-18），（-1，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．