解:(1)把B(-1,0)代入得:b=3a,
y=ax
2-2ax-3a=a(x-1)
2-4a,
所以顶点D(1,-4a).
(2)①有题设知:点C(0,-3a),点A(3,0),
且∠ACD=90°;
在Rt△AOC中,AC
2=9a
2+3
2,
在Rt△AHD中,AD
2=16a
2+2
2,
在Rt△CMD中,CD
2=a
2+1
2,
因为AD
2=AC
2+CD
2,
所以16a
2+2
2=a
2+1
2+9a
2+3
2,a
2=1,又a<0,
所以a=-1,
抛物线的解析式为y=-x
2+2x+3.
②设点M(m,y
1)
则BF=m+1,
点MF:BF=1:2,
∴MF=
,即y
1=
点M(m,y
1)在抛物线上,
所以
=-m
2+2m+3,
解得:m=
或m=-1(舍去),
点M的坐标为M(
,
);
又因为MP∥BO,MP=BO,
所以点的坐标为P(
,
),
由
得点N的坐标为N(
,
).
③设点Q(1,y)
因为D(1,4),C(0,3)
直线CD的方程为y=x+3,
令y=0,得G(-3,0),
设直线CD与⊙O的切点为K,连接QK;
则△DQK∽△DGH,
=
,
又QK=QB=
,DQ=4-y,
所以
=
,
整理得:y
2+8y-8=0,
解得y=-4±2
;
所以点Q的坐标为(1,-4+2
)或(1,-4-2
).
说明:由∠QDK=45°,直接得出QD=
QK,从而得4-y=
再求解,同样给分.
分析:(1)将B点坐标代入抛物线的解析式中,可得到a、b的关系式,将a替换b后,将抛物线的解析式化为顶点坐标式,即可得到顶点D的坐标.
(2)①根据(1)题所得抛物线解析式,可用得到C、A的坐标,若以AD为直径的圆经过点C,由圆周角定理可知∠ACD=90°,分别用a表示出AC、AD、CD的长,根据勾股定理可得到关于a的方程,即可求出a的值,进而确定该抛物线的解析式.
②根据①题抛物线的解析式,可求得点B的坐标,先设出点M的坐标,可用其横坐标表示出BF的长,已知BF=2MF,即可得到M点纵坐标的表达式,将其代入抛物线的解析式中,即可得到点M的坐标;根据中心对称图形的性质知MP=BO,由此可求得点P(即点N)的横坐标,将其代入抛物线的解析式中,即可得到点N的坐标.
③若⊙Q与直线CD相切(设切点为K),那么QK=QB=QA,可设出点Q的坐标(横坐标已知,只设纵坐标即可),可表示出QB、QK、DQ的长;设直线DC与x轴的交点为G,易求得直线DC的解析式,进而可得到点G的坐标,由此可求得HG、DG的长(H为抛物线对称轴与x轴交点),由于直线CD切⊙Q于点K,易证得△DQK∽△DGH,根据抛物线所得比例线段,即可得到关于点Q纵坐标的方程,通过解方程可确定点Q的坐标.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及中心对称图形的性质、直线与圆的位置关系等重要知识,涉及知识面广,难度较大.