Question

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，

BC

=

BD

，BF⊥AB与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）连接BC，若AD=6，tanC=

7

3

，求⊙O的半径及弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）由垂径定理即可推出AB⊥CD，再由题意即可推出CD∥BF；
（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，再由∠A=∠C，推出

BD

AD

=tanA=tanC=

7

3

，根据AD=6，即可求出BD的长度，根据AB=8，推出圆的半径，即可求出DE的长度，然后由直径AB平分

CD

，即可推出CD=2DE=3

7

．

解答：解：（1）证明：∵直径AB平分

CD

，
∴AB⊥CD，
∵BF⊥AB，
∴CD∥BF，

（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，tanA=

BD

AD

，
在⊙O中，∵∠A=∠C，
∴

BD

AD

=tanA=tanC=

7

3

，
∵AD=6，
∴BD=

7

3

AD=

7

3

×6=2

7

，
在Rt△ADB中，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为 

1

2

AB=4，
在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，
∴AB•DE=AD•BD，
∴DE=

6×2 7

8

=

3

2

7

，
∵直径AB平分

CD

，
∴CD=2DE=3

7

．

点评：本题主要考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点，关键在于熟练的综合运用各性质定理，认真的进行计算，采用数形结合的思想进行正确的分析．