Question

如图，△ABC中，D为BC的中点．
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD，
∵D为BC的中点，
∴DB=CD，
在△ADC和△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC，
在△ABE中，∵AB+BE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；

（2）∵AB=5，AC=3，
∴5-3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4．
分析：（1）再延长AD至E，使DE=AD，构造△ADC≌△EDB，再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD；
（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5-3＜2AD＜5+3，再计算即可．
点评：此题主要全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，延长中线，是一种常见的辅助线．