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    8．操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如图1设计：
    发现：（1）小明在方案一中连接AC，AB，BC后发现，AB恰好为该圆直径，你认为小明的这个发现是否正确？请说明理由．
    （2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率约为38.2%，你知道怎么算的吗？请你写出他的计算过程；
    探究：（3）对于方案二纸片的利用率，小明认为关键的是要求出此直角三角形的两直角边的长，你是这样想的吗？请你求出方案二纸片的利用率．

    分析 （1）连接AC、BC、AB，据每个小正方形的边长为1，可以证得∠ACB=90°，故问题可求．
    （2）求得圆的半径后可以求得纸片的面积，从而利用展开图的面积除以总面积即可求得利用率；
    （3）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求；

    解答 解：（1）小明的这个发现正确．
    理由：如图1：连接AC、BC、AB，
    ∵AC=BC=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{20}$；
    ∴AC2+BC2=AB2，
    ∴∠ACB=90°，
    ∴AB为该圆的直径．
    解法二：如图2：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，
    ∴∠ACM=∠CBN．
    又∵∠BCN+∠CBN=90°，
    ∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=90°，
    ∴AB为该圆的直径．


    （2）∵由题意知：AB=2$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
    ∴圆的半径为$\sqrt{5}$，
    ∴圆的面积为5π，
    ∵展开图的面积为6，
    ∴利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{6}{5π}$×100%=38.2%；

    （3）如图3：由题意，可得△ADE≌△EHF（ASA），
    ∴AD=EH=1．
    ∵DE∥BC，
    ∴△ADE∽△ACB，
    ∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CB}$，
    ∴$\frac{1}{4}$=$\frac{2}{CB}$，
    ∴BC=8．
    ∴S△ACB=16．
    ∴该方案纸片利用率=$\frac{展开图的面积}{纸板的总面积}$×100%=$\frac{6}{16}$×100%=37.5%．

    点评 此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．

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