Question

3．已知A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是二次函数y=$\frac{1}{4}$x²+bx-3图象上的两点，且x₁-x₂=-1，x₁•x₂=6，y₁-y₂=-$\frac{3}{4}$，b＞-$\frac{1}{2}$，当-2＜x＜1时，求y的取值范围．

Answer 1

分析 把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx-3得y₁=$\frac{1}{4}$x₁²+bx₁-3，y₂=$\frac{1}{4}$x₂²+bx₂-3，根据已知条件列方程得到$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=-$\frac{3}{4}$，根据完全平方公式得到x₁+x₂=±5，求得b=2，得到二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+2x-3，把x=-2，x=1代入二次函数的解析式得到y=-6，y=-$\frac{3}{4}$，即可得到结论．

解答 解：把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx-3得y₁=$\frac{1}{4}$x₁²+bx₁-3，y₂=$\frac{1}{4}$x₂²+bx₂-3，
∵y₁-y₂=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$x₁²+bx₁-3-（$\frac{1}{4}$x₂²+bx₂-3）=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=-$\frac{3}{4}$，
∵x₁-x₂=-1，x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4x}_{1}{x}_{2}}$=1，
∴x₁+x₂=±5，
当x₁+x₂=5时，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=$\frac{1}{4}$×（-1）×5+b（-1）=-$\frac{3}{4}$，
解得：b=-$\frac{1}{2}$，
∵b＞-$\frac{1}{2}$，∴b=-$\frac{1}{2}$不合题意，
当x₁+x₂=-5时，$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）•（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=$\frac{1}{4}$×（-1）×（-5）+b（-1）=-$\frac{3}{4}$，
解得：b=2，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+2x-3，
当x=-2时，y=-6，
当x=1时，y=-$\frac{3}{4}$，
∴当-2＜x＜1时，求y的取值范围是-6＜y＜-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，完全平方公式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．