[题目]如图.将平行四边形纸片沿对角线翻折.使点落在平行四边形所在平面内.和相交于点.连接判断和的位置关系.并证明．在图1中.若.是否存在恰好为直角三角形的情形?若存在.求出的长度:若不存在.请说明理由．若将图中平行四边形纸片换成矩形纸片.沿对角线折叠发现所得图形是轴对称图形,将所得图形沿其对称轴再次折叠后.得到的仍是轴对称图形．则矩形纸片� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，将平行四边形纸片沿对角线翻折，使点落在平行四边形所在平面内，和相交于点，连接

判断和的位置关系，并证明．

在图1中，若，是否存在恰好为直角三角形的情形?若存在，求出的长度：若不存在，请说明理由．

若将图中平行四边形纸片换成矩形纸片，沿对角线折叠发现所得图形是轴对称图形；将所得图形沿其对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形．则矩形纸片的长宽之比是多少?请直接写出结果．

【答案】（1）平行，理由见解析（2）存在当BC的长为2或3或6或4时，△AB′D是直角三角形（3）矩形纸片ABCD的长宽之比是1：1或：1

【解析】

（1）由折叠知BC＝B′C，∠ACB＝∠ACB′，结合∠ACB＝∠CAD知∠ACB′＝∠CAD，得AE＝CE，再由BC＝B′C＝AD知DE＝B′E，从而得∠EDB′＝∠EB′D，根据∠AEC＝∠DEB′得∠ACB′＝∠CAD＝∠EDB′＝∠EB′D，从而得证．

（2）先证得四边形ACB′D是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；

（3）①当AB：AD＝1：1时，符合题意．②当AD：AB＝：1时，也符合题意，根据全等三角形的判定与性质及含30°的直角三角形的性质即可求解．

（1）B′D∥AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

由折叠知BC＝B′C，∠ACB＝∠ACB′，

∴∠ACB′＝∠CAD，

∴AE＝CE，

又∵BC＝B′C＝AD，

∴DE＝B′E，

∴∠EDB′＝∠EB′D，

∵∠AEC＝∠DEB′，

∴∠ACB′＝∠CAD＝∠EDB′＝∠EB′D，

∴B′D∥AC；

（2）∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形，

∵∠B＝30°，

∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，

当∠B′AD＝90°，AB＞BC时，如图1中，

设∠ADB′＝∠CB′D＝y，

∴∠AB′D＝y30°，

解得y＝60°，

∴∠AB′D＝y30°＝30°，

∵AB′＝AB＝2，设AD=x，则B’D=2x

∴B’D2=AD2+AB’2，即（2x）2=x2+(2)2，解得x=2

∴AD＝2，

∴BC＝2；

当∠ADB′＝90°，AB＞BC时，如图2，

∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形，

∵∠ADB′＝90°，

∴四边形ACB′D是矩形，

∴∠ACB′＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∵∠B＝30°，AB＝2，

∴AC=AB=

∴BC＝＝3；

当∠B′AD＝90°，AB＜BC时，如图3，

∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，

∵∠B＝30°，AB′＝2，

∴∠AB′C＝30°，

∴AE=B’E，B’E=2AE，

∴B’E2=AE2+AB’2，即（2AE）2=AE2+(2)2，

∴AE＝2，B’E＝2AE＝4，

∵∠ACB＝∠ACB’=∠CAD =30°

∴AE＝EC＝2，

∴CB′＝6，

当∠AB′D＝90°时，如图4，

∵AD＝BC，BC＝B′C，

∴AD＝B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACDB′是平行四边形，

∵∠AB′D＝90°，

∴四边形ACDB′是矩形，

∴∠BAC＝90°，

∵∠B＝30°，AB＝2，

∴BC=2AC，AC=BC

∴BC2=AC2+AB2，即（BC）2=（BC）2+(2)2，

∴BC＝4；

∴已知当BC的长为2或3或6或4时，△AB′D是直角三角形．

（3）如图5中，

①当AB：AD＝1：1时，四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAB′＝45°，

∵AE＝AE，∠B′＝∠AFE＝90°，

∴△AEB′≌△AEF（AAS），

∴AB′＝AF，

此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．

②当AD：AB＝：1时，也符合题意，

则AD=AB

∴AC=

∴∠DAC=30°，

∴AC＝2CD，

∴AF＝FC＝CD＝AB＝AB′，

∴此时四边形AFEB′是轴对称图形，符合题意．

综上，矩形纸片ABCD的长宽之比是1：1或：1．

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